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高中数学已知数列an的前n项和为sn
【高中数学已知数列an的前n项和为sn】在高中数学中，数列是一个重要的知识点，尤其是与前n项和Sₙ相关的题目，常出现在考试中。掌握如何由Sₙ求通项公式{aₙ}，或由{aₙ}求Sₙ，是解决数列问题的关键。
以下是对“已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ”的相关知识点总结，并通过表格形式进行对比说明。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 数列{aₙ} | 由一系列按顺序排列的数构成的序列 |
| 前n项和Sₙ | 数列{aₙ}的前n项之和，即Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ |
二、由Sₙ求通项aₙ的方法
当已知Sₙ时，可以通过以下方式求出通项aₙ：
- 公式：
$$
a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)
$$
其中，$ a_1 = S_1 $
- 注意：
当n=1时，直接取S₁作为a₁；当n≥2时，使用上述差值法。
三、常见题型及解法示例
| 题型 | 已知条件 | 解题思路 | 示例 |
| 1 | 已知Sₙ，求aₙ | 使用差值法 | 若Sₙ = n²，则a₁ = 1，a₂ = 4−1 = 3，a₃ = 9−4 = 5，以此类推 |
| 2 | 已知aₙ，求Sₙ | 对aₙ求和 | 若aₙ = 2n−1，则Sₙ = 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n² |
| 3 | 已知Sₙ的表达式，判断数列类型 | 分析Sₙ是否为等差或等比数列 | 若Sₙ = n(n+1)/2，则aₙ = n，是等差数列 |
| 4 | 已知Sₙ，求某一项的值 | 利用aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ | 若Sₙ = 2ⁿ − 1，则a₅ = S₅ − S₄ = (32−1) − (16−1) = 16 |
四、典型数列的Sₙ与aₙ关系表
| 数列类型 | 通项aₙ | 前n项和Sₙ | 备注 |
| 等差数列 | a₁ + (n−1)d | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n−1)d] $ | d为公差 |
| 等比数列 | a₁r^{n−1} | $ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} $（r≠1） | r为公比 |
| 自然数列 | n | $ S_n = \frac{n(n+1)}{2} $ | 1, 2, 3, ..., n |
| 奇数列 | 2n−1 | $ S_n = n^2 $ | 1, 3, 5, ..., (2n−1) |
| 平方数列 | n² | $ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ | 1², 2², 3², ..., n² |
五、总结
在处理“已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ”这类问题时，关键在于理解Sₙ与aₙ之间的关系，灵活运用差值法求通项，同时根据数列类型选择合适的求和公式。掌握这些方法，有助于提高解题效率，增强对数列知识的理解和应用能力。
如需进一步练习，建议结合具体题目进行分析，逐步提升解题技巧。
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