点到平面的距离公式

【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于工程、物理和计算机图形学等领域。理解并掌握点到平面的距离公式，有助于解决许多实际问题。

一、点到平面的距离公式总结

设空间中有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，以及一个平面 $ \pi $，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量分量；

- $ D $ 是平面方程中的常数项；

- 分子部分是点代入平面方程后的绝对值；

- 分母是法向量的模长。

二、公式使用说明

三、实例解析

例题：

已知点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - y + 3z - 6 = 0 $，求点 $ P $ 到该平面的距离。

解：

根据公式：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 6}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 6}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{3}{\sqrt{14}} $。

四、注意事项

- 平面方程必须写成标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，否则无法直接应用公式。

- 若平面方程未标准化，如 $ 2x - y + 3z = 6 $，应将其改写为 $ 2x - y + 3z - 6 = 0 $。

- 公式适用于任意三维空间中的点和平面，不依赖于点是否在平面上。

通过以上内容的总结，我们可以清晰地理解点到平面的距离公式的推导过程及其应用方法。掌握这一公式，能够帮助我们在实际问题中快速计算点与平面之间的距离，提升解决问题的效率。

　　免责声明：本文由用户上传，与本网站立场无关。财经信息仅供读者参考，并不构成投资建议。投资者据此操作，风险自担。 如有侵权请联系删除！