圆心到直线的距离公式d怎么求

【圆心到直线的距离公式d怎么求】在几何学习中，求解“圆心到直线的距离”是一个常见的问题，尤其在解析几何和圆的方程相关题目中经常出现。这个距离公式在判断直线与圆的位置关系、计算切线长度等方面具有重要作用。本文将总结圆心到直线的距离公式及其求法，并以表格形式直观展示。

一、公式概述

已知一条直线的一般式为：

$$ Ax + By + C = 0 $$

圆心坐标为 $ (x_0, y_0) $，则该点到直线的距离 $ d $ 的计算公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

此公式是通过向量投影原理推导得出，适用于所有形式的直线方程。

二、使用步骤

1. 确定直线方程：将直线表示为一般式 $ Ax + By + C = 0 $。

2. 获取圆心坐标：明确圆心的坐标 $ (x_0, y_0) $。

3. 代入公式计算：将数值代入上述距离公式进行计算。

4. 结果分析：根据距离大小判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。

三、示例说明

假设有一条直线：$ 2x - 3y + 6 = 0 $，圆心为 $ (1, 2) $，则：

- $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 6 $

- $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $

代入公式得：

$$

d = \frac{2(1) + (-3)(2) + 6}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{2 - 6 + 6}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

$$

四、总结表格

五、注意事项

- 若直线方程不是标准形式，需先将其化为一般式 $ Ax + By + C = 0 $。

- 公式中的绝对值确保距离为非负数。

- 公式适用于二维平面内的任何直线和点。

通过以上内容，我们可以清晰地掌握如何求解圆心到直线的距离公式 $ d $。这一知识点不仅在考试中常见，也广泛应用于工程、物理等领域。理解并熟练运用该公式，有助于提升几何问题的解决能力。

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